フィッシャーの正確確率

2×2分割表において、いずれかのセルの期待値が5以下である場合、χ2検定を適用するのは不適当です。
その場合、フィシャーの正確確率を用いて分割表の直接生起確率を求めて有意確率(p-value)を算出する方法を使用します。例えばこのような2×2分割表があったとして、

  B B’
A 13(a) 4(b) 17
A’ 6(c) 14(d) 20
19 18 37


この分割表の存在確率は17C13×20C6/37C19 = 0.00522 となります。
周辺度数を固定した時、2×2分割表の自由度は1となるため、A∩Bの数を決定すれば他のセルに入る値も自動的に決定されます。フィッシャーの正確確率を求めるためにはA∩Bが0~17までの値を取った場合の分割表の存在確率を全て求めます。
また、2要因の関連の強さの指標として ad-bc を定義します。すると、以下のような結果が得られます。

正確確率計算



ad-bcの値(もしくは絶対値)が測定値A∩B = 13の場合のad-bcより大きい場合を極端な生起確率」とします。この値を合計したものが、有意確率となります。
片側検定の場合は(ad-bc > 158)、両側検定の場合は(|ad-bc| > 158)の生起確率を合計します。合計した確率が < 0.05 の場合、帰無仮説を棄却することが出来ます。