『はじめに』

　様々な由来のデータをかき集めてきたときに、それらを統合してカーブフィッティングをしたいときがあります。プロットしてみると、同じｘ軸上に数点ある場合もあれば、間隔もまばらだったりすることもあります。そういった場合にどうやって全体のデータを反映して、大域的なパラメータを推定してカーブを描くか悩むことがあります。そんなときのためのお話です。

『BUGSソフトの凄さと手軽さ』

　まず図1を見て下さい。青の○と赤の△がプロットしてあります。それぞれ2つのデータソースからそれぞれ集められたデータです。データの間隔も完全には一致しておらず、重なりのある部分とそうでない部分などもあります。こういったデータを全部考慮して、カーブフィッティングをしようとすると悩んでしまうことがあります。部分的に平均でも取ろうか、といった感じで、、。

図１　2種類の由来を持つデータとカーブフィッティング

　そんなときに力を発揮するのがBUGSソフトです。上図のカーブフィッティングでは、2種類のデータソースのデータをすべて使ってカーブフィッティングしてあります。青の破線はガンマ分布の曲線で、赤の破線はロジスティック関数で、それぞれフィッティングした結果です。どちらも青の○のデータと赤の△のデータをすべて利用して、それぞれフィッティングしてあります。BUGSソフトのすごいところは、ただ単純に青のデータセットの後ろに赤のデータセットを加えて処理しただけだという点です。ここでは、JAGSを使用しましたがWinBUGSやOpenBUGSなどMCMCを実行できるソフトであれば同様にフィッティングすることができます。
　ｘ軸の値とy軸の値の関数関係をBUGSのモデルとして定義すれば、それぞれの点のx, yのデータペアは重要ですが、大域的なパラメータですから、それぞれのペアを与える順番は推定に全く関係しません。同じx軸のところで重複しているデータもそのまま、とにかく配列の後ろに順に並べてソフトに渡します。同じx軸に重複した値があれば、与えられた数だけ確からしさが上がり（もちろん同じx軸の値で、y軸のバラツキが大きければ、それなりに推定値の標準偏差σは大きくなる）ように処理をしてくれます。それらの影響を加味した尤もらしいパラメータが推定結果として得られます。
　順番も気にせず、とにかくデータセットをつくり、BUGSソフトに与えるだけで上記のように綺麗な（？）線を描くためのパラメータ推定をしてくれるのは大変便利です（ただ、使いこなすには、プログラミングの知識や、BUGSのモデル構築、確率統計の基礎知識が必要です）。
　なお、念のためですが、今回の話題は大域的なパラメータでしたので、データの順番は関係しませんでしたが、そうではなく、局所的なスムージング（例えば条件付き自己回帰モデル）のような場合は、隣接関係を正しく与えるという意味でデータの順番などが重要となります。

『はじめに』

　データには様々な種類があります。私どもも計測装置や実験で得られたデータが中心なのですが、ときどきアンケートで回収されたデータを対象に解析を行うこともあります。アンケートのデータは回収率に依存して数値が小さくなります。そういう意味で、通常の実験データと質的な違いがあります。アンケートが毎年行われていて、時系列データとして扱われる場合の前処理に関する話題です。

『回収率で補正』

　一般的に計測されたデータであれば、真値の周りにガウス分布のノイズが重畳されたモデルを想定して解析を行います。しかし、アンケートのデータは明らかにガウス分布ではありません。得られているデータよりも必ず大きい側に真値が存在します。普通の回帰直線などを利用してしまうと、明らかに小さめに評価してしまうことになります。今回「時系列データ」と限定しているのは、経時的な変化が見やすいため、これから申し上げる補正の効果が見極めやすいためです。他のデータなどでも同様な効果が期待できる可能性はあるのですが、経験的な目で見たときに正しいと思われる補正かどうか、長年継続してきているものでないと判断がつかないというのが正直なところです。そういうことで適用にあたっては、十分に注意が必要です。

　集められているデータ数が多い場合MCAR （完全にランダムな欠測：Missing Completely At Random）の仮定が成り立つことがあります。その場合は非常に単純で、単に回収率で割り算して100％集まったとした場合の値を推定するだけです。こういった処理を試すかどうかは、まず、アンケート回収率のグラフと集計されたグラフを並べて書いて見ることです。同じ所で凹んでいたり、出ていたりすれば、試すべきです。処理が単純ですので「論より証拠」とにかく一度試して見るということでも良いでしょう。補正したほうがひどく揺れてしまうようでしたら、あきらめて、そのデータをそのまま使うようにしましょう。その場合はMCARではなかったということになります。

　もっと凝った話を持ち出すなら、アンケート先の機関の規模や集計データに多少関係すると思われるデータも同時に集計されている場合、例えば、患者数をアンケートで答えてもらっているが、その病床数や医師、看護師の数など、病院の規模に関係するデータなどが存在する場合、その補助的なデータを利用して、回答のあった機関のデータからの患者数を予測する回帰分析を行います。その係数を利用し、非回答の機関の補助情報を入力して患者数を推定し、アンケート集計結果に加算するといった方法も試す価値はあります。この方法であれば、上記の回収率が集計データに一見無関係に見えても補正できる可能性があります。
もちろん、回帰分析用の各説明変数間にはかなり強い相関がある可能性が高いと思います。多重共線性が心配なので、実際の作業は、PLS（Partial Least Squares）回帰分析などを使ったほうが良いです。精度をなんとか上げてみたいとき、試してみてはいかがでしょうか。

『はじめに』

　様々な将来予測などでは、これからのシナリオを考えて、そのシナリオに沿ったカーブをイメージしながら、与えられたデータにフィッティングしてカーブを引きたいとことがあります。スプライン関数といった方法もありますが、与えられたデータの中で内挿するだけで、外側に大胆に引くことはできません。フリーハンドで「これぐらいになる」とカーブを引くのもひとつの手ですが、得られているデータにそれなりにマッチした線を綺麗に描きたいときもあります。「非線形最小二乗法を使って」と試しても収束しないと悩むことも多いのではないでしょうか？特に得られているデータの範囲が狭いとか、思ってもいない位置に収束してしまうとか、諦めることも多いと思います。今回の話題は、とりあえず思ったようなカーブの線を引きたいとき（人）のためのBUGSソフトウェアの話です。ただし、残念ながら現時点では実際に使おうとするとプログラミングや確率統計の知識も必要となります。

『MCMCによるカーブ・フィッティング』

　まず、図1を見てください。直線にも見えます。なんとなくガウス分布の左半分ぐらいともとれます。または、ロジスティックカーブともとれます。いずれを採用するかは、そのデータの由来から知っている方でないと判断ができません。患者数のようなデータで原因となっている疾患が頭打ちになる傾向がすでに知られていれば、ガウス分布やロジスティック関数を使ってフィッティングするほうが直線より良いかも知れません。とりあえずここでは、ガウス分布やロジスティック関数でフィッティングしたいとします。

図１　部分的なカーブの例

　MCMCの良いところは、自分の思いを事前情報分布として数値にしてモデルに与えれば、その範囲で探してくれる点です。MCMCのソフトウェアとしては、プログラミングや確率統計の知識を必要としますが、WinBUGSやOpenBUGS、 JAGSなどのフリーソフトがあります。
これらのソフトでは、まず、（１）フィッティングしたい関数の統計モデルを定義し、（２）各パタメータの事前分布に自分の思っている程度の制約を与え、（３）予測したい領域を”NA”という欠測値にした尤度関数を得るための計測データを渡し、（４）得られた事後分布からサンプリングを実行することで尤もらしいフィッティング結果を返してくれます。結果がふらついて収束しないときには、かなり恣意的になりますが、事前に得られている知識で、どの程度のパラメータの範囲になるか期待される値とその範囲を狭くして与えてしまいます。「それでは手書きと同じだ」というご指摘はごもっともです。でも全てのパラメータを与えて曲線を一本描くのとは違い、特定のパラメータに対して精度の良い事前情報分布を与え、その他のパラメータは無条件事前分布に近い感じで収束するまでBUGSにおまかせという方法が取れます。一つでも恣意的であれば十分全部が恣意的かも知れませんが、気持ちだけ、少し数学的な配慮が効いたもので、データに合致した曲線が得られます。ここでは、お絵かきソフト替わりと思って記載しておりますのでそのレベルでお許しください。

　前記の図1に対して、形状から決まってくるおよその位置と範囲を指定してフィッティングしてみました。図2に結果を示します。黒はオリジナルの曲線で、赤が正規分布関数、青はロジスティックカーブです。

図２　ガウス分布関数によるフィッティングの例

　ここで、どちらの関数の当てはまりが良いか見てみたいと思います。BUGSソフトウェアの場合、DIC(Deviance Information Criterion)という情報量規準で簡単に当てはまりの良さを評価することができます。情報量規準を用いた評価は、必ずしも残差が小さいだけで選ばれるわけではなく、推定するパラメータの数も考慮して適合性の良いモデルを選ぶことができる点です。上記ではBUGSソフトとしてJAGSを用いました。ガウス分布関数の場合は、単に平均と分散だけでなく、全体のオフセット分や振幅もフィッティングしています。また、ロジスティック関数もオフセットと振幅やX軸方向の位置や立ち上がりの傾斜などを決めるパラメータを推定しています。そのため、実効的なパラメータ数を表すpenaltyもそれなりに大きくなります。DICで評価した結果は、ガウス分布関数モデルでPenalized deviance: 62.46という結果でした。一方ロジスティック関数でもほぼ同じ程度の値Penalized deviance: 63.58でした。情報量規準では、小さい方を選択することになりますが、この場合差は小さく、どちらをとってもそれほど変わらずという感じです。もちろんここでは、与えられたデータの範囲でどうか当てはまり具合を見ただけですので、むしろ得られたデータソースの性質から最終的なモデルを決めることになると思います。
あまり意味が無いのですが、たとえば、図3に示すようにかなり短い線分（図1の上のほうの一部分）に対してもフィッティングできます（一応DICを使ったモデル比較もしてみました。Penalized devianceが直線モデル（青）は41.9で、ガウス分布（赤）が34.97でした。この線は全体的には曲がっているからか、ガウス分布の方がモデルとして良いという結果でしたが、あまり深い意味はありません）。

図３　局所データへのガウス分布関数フィッティング

　ベイズ推定では、事前分布としてできあがりのイメージがあれば、それを初期値として与えることで、それなりに合わせてくれるような使い方ができる例を示しました。裏を返せば、それなり見えてしまう結果が得られるということでもあり、これらを適用した場合には、事前分布に関するかなり慎重な説明書きが必要と考えます。

『はじめに』

様々な場でベイズ推定が利用されるようになってきました。尤度関数を考えてプログラミングするとなると、それなりに数学の知識が必要となります。しかし、BUGSソフトウェアが使えるとその心配がかなり解消できます。私どももベイズ推定では、頻繁にWinBUGSやOpenBUGS、JAGSなどを利用しています。今回はそのような話題です。

『BUGSを比較する』

ベイズ推定を行うために、直接的に尤度関数を求めてプログラミングできれば高速で良いのですが、尤度関数が正しく導くことができたか心配になります。また事前分布として複雑な関数や条件などを想定すると、あきらめたくなります。そのようなこともあり、BUGSソフトウェアを用いてストレートにデータの関係を表現し、MCMCでシミュレーションできるというのは本当にありがたいことだと感じています。

BUGSの選択にあたっては、日本語の書籍の多さから言えばWinBUGSがもっとも情報を得やすいといえます。GeoBUGSという空間データ処理もWinBUGSのメニューの一つとしてサポートされています。R言語から呼び出して使用することで、データの準備や処理結果を加工して描画するなどかなり環境が整ってきました。ただ、難点としては、多数のデータセットを対象に自動処理した場合にWinBUGSがRから起動されるたびにマウスフォーカスがとられてしまう点です。自動化できるだけでよしとしなければならないかも知れませんが、通常の業務で使用するPCで試してみている場合などは困りものです。その点OpenBUGSは完全にバックグラウンドで処理できますので、自動化にかなり向いています。Linux版もあるのでRstudioなどを使ってブラウザ経由でWindowsマシンと同様なインターフェイスでガンガン走らせることができます。ただ、紹介されている日本語の書籍がほとんど無いのは残念です。OpenBUGSにもGeoBUGSが含まれていますので、空間データの処理が手軽に実現可能です。WinBUGSは開発が終了してしまっていますが、OpenBUGSは今でも進化を続けています。数学的な関数もWinBUGSよりも豊富です（特殊な数学関数を使わなければ関係ありませんが）。

もう一つJAGS(Just Another Gibbs Sampler)というソフトがあります。こちらも日本語の書籍はほとんどありません。OpenBUGS同様に自動化に向いたソフトでもあります。Rから呼び出して、バックグラウンドで処理をしてくれます。Linux版もサポートされています。モデルがシンプルでデータ数が小さいときには他のソフトとあまり変わりませんが、データ数が多い場合などOpenBUGSよりも高速です。空間データ処理のGeoBUGSに対応していない点が残念なのですが、数学的な関数が豊富であり、多変量の乱数サンプリングや特殊なデータの扱いなどで独自に進化していて、大変便利なツールです。カーブフィッティングでは、ガウス分布の歪んだ形まで表現できるSHASH（sinh-arcsinh）分布関数にフィッティング（サンプリングではない）する場合など、SHASH関数を実現するためのarcsinh関数まできっちりサポートされていて助かっています（ちなみにarcsinhなどはOpenBUGSにもあります）。またデータを直接的に前処理するブロックとMCMCのモデルのブロックを分けて記述できるなど使いやすくなっています。カテゴリカルなデータの取扱やソートなどの関数が一歩進んでいて、一度こちらに慣れてしまうと、他のBUGSソフトに戻れない感じがします（ただ、空間データでCar.normalモデルでは、データに合わせて1次のRW（ランダムウォークモデル）や2次のRWモデルを直接書かなければならないのは神経を使います。JAGSの作者は当面自分の研究領域に関係ないということで開発する予定はないそうです。）。

ここまで作成しておいて何なのですが、どのソフトも微妙にMCMCの収束の感じが違っているような気がします。どれも最初に使い始めるときに慣れ親しんだソフトと違うような違和感があります。でもそれぞれに慣れるといつの間にか、違和感なく使っているので、それほど大きな問題ではないのでしょうね。サンプリングした結果を見ながら、収束するまでモデルを改良しますから、当然何とかなる（何とかしている？）のだと思いますが、、。

ゴールデンウィーク期間中の営業日につきまして、下記の通り御連絡いたします。

期間中お手数おかけいたしますが、宜しくお願い申し上げます。

弊社は日本農芸化学会2012年度大会に出展いたします。

開催日：2012年3月22日(木)～26日(月)
会　場：京都女子大学、聖護院、ウェスティン都ホテル京都
出　展：(株)ダイナコム

年末年始の営業日につきまして、下記の通り御連絡いたします。

期間中お手数おかけいたしますが、宜しくお願い申し上げます。

弊社は第34回日本分子生物学会年会に出展いたします。
細胞・抗体・論文・実験結果・画像・ファイルなど研究室情報を共有管理する「ラボ・セクレタリー」をはじめとしたバイオインフォマティクス関連の製品・サービスを展示いたします。

開催日：2011年12月13日(火)～16日(金)
会　場：パシフィコ横浜
出　展：小間No.121 (株)ダイナコム